Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰

Ir al curso
MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6 - Integrales

Anterior Siguiente
5. Hallar la función ff tal que
b) f′(x)=x3x2+9f'(x)=x \sqrt{3 x^{2}+9} y f(3)=20f(3)=20

Respuesta

Acá nos dan la derivada f′f', así que tenemos que hallar la función ff integrando la expresión.


Vamos a integrar usando el método de sustitución:

u=3x2+9 u = 3x^2 + 9
dudx=6x \frac{du}{dx} = 6x du=6x dx du = 6x \, dx

du6=x dx \frac{du}{6} = x \, dx Ahora sustituimos en la integral. La integral original es:

∫x3x2+9 dx=∫u⋅du6 \int x \sqrt{3x^2 + 9} \, dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{du}{6}

=16∫u du = \frac{1}{6} \int \sqrt{u} \, du
Ya podemos integrar: ∫u du=∫u1/2 du=23u3/2+C \int \sqrt{u} \, du = \int u^{1/2} \, du = \frac{2}{3} u^{3/2} + C ∫u⋅du6=16⋅23u3/2+C \int \sqrt{u} \cdot \frac{du}{6} = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C

=19u3/2+C = \frac{1}{9} u^{3/2} + C
Sustituimos u u de nuevo en términos de x x :

19(3x2+9)3/2+C \frac{1}{9} (3x^2 + 9)^{3/2} + C
Usamos el dato f(3)=20 f(3) = 20 para obtener CC:

f(3)=19(3(3)2+9)3/2+C=20 f(3) = \frac{1}{9} (3(3)^2 + 9)^{3/2} + C = 20

f(3)=19(27+9)3/2+C=20 f(3) = \frac{1}{9} (27 + 9)^{3/2} + C = 20

f(3)=19(36)3/2+C=20 f(3) = \frac{1}{9} (36)^{3/2} + C = 20

f(3)=19(63)+C=20 f(3) = \frac{1}{9} (6^3) + C = 20

f(3)=19⋅216+C=20 f(3) = \frac{1}{9} \cdot 216 + C = 20

f(3)=24+C=20 f(3) = 24 + C = 20

C=20−24 C = 20 - 24

C=−4 C = -4
Finalmente nos queda:

f(x)=19(3x2+9)3/2−4 f(x) = \frac{1}{9} (3x^2 + 9)^{3/2} - 4
Reportar problema
ExaComunidad
Iniciá sesión o Registrate para dejar tu comentario.
Zoe
1 de julio 1:29
Que paso con el 2 en el 3/2? por que salta directamente a 6"3-al cubo-
0 Responder
Julieta
PROFE
9 de julio 15:54
@Zoe Hola Zoe, ocurre que te queda 363/2=(36)336^{3/2}= (\sqrt{36})^3 = 636^3
0 Responder